Code & Flow

백준 9206: 나무 말고 꽃

froglike6 — Mon, 23 Dec 2024 00:47:27 +0900

※이전 블로그에서 가져온 글입니다※

[Platinum III] 나무 말고 꽃 - 9206

문제 링크

성능 요약

메모리: 33240 KB, 시간: 40 ms

분류

미적분학, 수학, 수치해석

제출 일자

2024년 3월 5일 12:53:25

문제 설명

선영이와 남자친구의 2주년이 얼마 남지 않았다. 선영이는 그를 위해 특별한 것을 사주려고 한다. 남자친구는 나무에 관심이 매우 많다. 하지만, 선영이는 나무는 선물로 매우 크다고 생각한다. 따라서, 꽃을 사주려고 한다.

선영이는 모든 꽃에는 그 꽃과 가장 잘 어울리는 꽃병의 부피가 있다고 생각한다. 선영이는 꽃병을 구매하기 위해 인터넷 쇼핑몰에 들어갔다. 쇼핑몰에는 꽃병의 사진과 윤곽 함수가 적혀져 있다. 가장 적합한 꽃병을 찾는 프로그램을 작성하시오.

꽃병의 윤곽은 함수 f(x) = a・e^-x²+ b・√x로 나타낼 수 있다. 여기서 x는 꽃병의 바닥과 떨어진 수직 거리이다. 꽃병은 이 함수를 x축에 대해서 회전시킨 모양이다. 꽃병의 높이는 h이다.

서로 다른 두 꽃병의 부피의 차이는 적어도 10^-4이다. 또, 서로 다른 두 꽃병과 선영이가 찾는 꽃병의 부피의 차이도 적어도 10^-4 만큼 차이난다.

입력

첫째 줄에 선영이가 찾는 꽃병의 부피 1 < V ≤ 10⁵ 와 쇼핑몰에 올라와 있는 꽃병의 수 0 < N ≤ 5 이 주어진다.

다음 N개 줄에는 문제의 함수에 해당하는 a, b, h가 주어진다. (1 ≤ a, b, h ≤ 10)

예제의 경우에 두 꽃병의 부피는 34.72348, 21.77966이다.

출력

선영이가 찾는 꽃병과 부피 차이가 적은 꽃병의 인덱스를 출력한다. 첫 번째 꽃병의 인덱스는 0이다.

이 문제는 단순히 $ \pi \int_{0}^{h}(ae^{-x^{2}}+b\sqrt{x})^{2}dx$를 계산하면 되는 문제입니다. 이를 계산하면 다음과 같습니다:

$$\frac{1}{4}\pi (a^{2}\sqrt{2\pi}\textrm{erf}(\sqrt{2}h)+2b(bh^{2}-2ah^{\frac{2}{3}}\textrm{E}_{\frac{1}{4}}(h^{2})+2a\Gamma (\frac{3}{4})))$$

따라서 위 식을 계산하는 코드를 작성하면 됩니다. Error Function과 Exponential Integral E, 그리고 Gamma Function을 구현하도록 하겠습니다.

Error Function

Error Function은 다음과 같이 정의됩니다.

$$ \mathrm{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2}\, dt $$

직접 Error Function을 계산해도 되나, 다행히도 math 모듈에 math.erf() 함수가 있습니다.

Exponential Integral E

Exponential Integral E는 다음과 같이 정의됩니다.

$$ \mathrm{E_{n}}(x) = \,\mathrm{} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-xt}}{t^{n}} \, dt $$

그리고 Upper Incomplete Gamma Function으로도 정의될 수 있습니다. 여기서 이 정의를 사용하도록 하겠습니다.

$$ E_{n}(x) = x^{\,n-1} \,\Gamma(1 - n,\, x) $$

Upper Incomplete Gamma Function은 다음과 같이 정의됩니다.

$$ \Gamma(s, x) = \int_{x}^{\infty} t^{\,s-1}\, e^{-t} \, dt $$

이를 이용해, 최종적으로 Gamma Function으로 나타낸 식은 다음과 같습니다.

$$E_{n}(x)
= x^{\,n-1}
  \Biggl(
    \Gamma(1 - n)
    \;-\;
    x^{\,1-n}
    \sum_{i=0}^{\infty}
      \frac{x^{\,i}}{\Gamma(2 - n + i)}
      \, e^{-x}
  \Biggr)$$

다음은 Exponential Integral E를 구현한 코드입니다.

def E(n, x):
    tmp=0.0
    for i in range(inf):
        tmp+=(math.pow(x, i)/math.gamma(1-n+i+1))
    return math.pow(x, n-1)*(math.gamma(1-n)-math.pow(x, 1-n)*tmp*math.gamma(1-n)*math.pow(math.e, -x))

코드 최종 구현

앞서 언급한 공식들을 이용해 꽃병의 부피를 구하는 함수를 만들 수 있습니다. 다음은 꽃병의 부피를 구하는 함수를 구현한 코드입니다.

def bottle(a, b, h):
    return 0.25*(math.sqrt(2*math.pi)*math.pow(a, 2)*math.erf(math.sqrt(2)*h)+2*b*(-2*a*math.pow(h, 1.5)*E(1/4, math.pow(h, 2))+2*a*math.gamma(3/4)+b*math.pow(h, 2)))*math.pi

백준 17633: 제곱수의 합 (More Huge)

froglike6 — Mon, 23 Dec 2024 00:32:13 +0900

※이전 블로그에서 가져온 글입니다※

[Diamond III] 제곱수의 합 (More Huge) - 17633

문제 링크

성능 요약

메모리: 39912 KB, 시간: 184 ms

분류

수학, 밀러–라빈 소수 판별법, 정수론, 폴라드 로, 소수 판정

제출 일자

2023년 11월 23일 09:55:59

문제 설명

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 1,000,000,000,000,000,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

어떤 자연수 $n$이 주어질 때, 이 자연수를 나타낼 수 있는 제곱수 합의 최소 개수를 출력하는 문제입니다. 문제에서 최대 개수는 4개로 주어져있기에, 1부터 4까지의 경우에 대해 생각해보면 됩니다.

르장드르의 세 제곱수 정리

르장드르의 세 제곱수 정리란, $n=4a(8b+7)$일 때 3개의 자연수의 합으로 나타낼 수 없다라는 정리입니다. 따라서, $n$의 형태가 $4a(8b+7)$이라면 4개로 나타낼 수 있으므로 4를 출력하면 됩니다.

def legendre(n):
    while n%4 == 0:
        n //= 4
    if n%8 == 7: return True
    else: return False

페르마의 두 제곱수 정리

페르마의 두 제곱수 정리 중 한 조건에 따르면, 소인수 중 4로 나눈 나머지가 3인 소인수가 홀수 개라면 두 제곱수의 합으로 나타낼 수 없습니다. 따라서 $n$을 소인수분해하고, $4n+3$ 형태의 소수가 홀수 개라면 3을 출력하면 됩니다.

def fermat(n):
    lists = []
    while n > 1:
        soinsu = pollardRho(n)
        lists.append(soinsu)
        n //= soinsu
    k = list(Counter(lists).items())
    for i, n in k:
        if i%4 == 3 and n%2 == 1:
            return True
    return False

제곱수

주어진 자연수가 제곱수라면, 1개의 제곱수(자기 자신)로 나타낼 수 있으므로 1을 출력하면 됩니다. 그게 아니라면 2를 출력하면 됩니다.

서버 이동 후기

froglike6 — Mon, 23 Dec 2024 00:10:56 +0900

※기존에는 서버로 라즈베리파이 3B+를 사용했다. Homeassistant만 사용하는데도 성능이 느려 새로운 서버가 필요했고, N100이 마음에 들었다(할인해서 무턱대고 산 건 아님, 절대 아님).

Firebat T8 PRO/PLUS

이전에는 도커나 우분투를 사용해서 서버를 구성했는데, 이번에는 Proxmox라는 걸 사용했다. 약간 예전에 사용하던 VirtualBox 같은건데, 좀 더 최적화나 UI가 더 잘 되어있는 듯 하다. 암튼 이 Proxmox는 여러 개의 VM을 사용할 수 있는데, 일단 우분투부터 만들어서 기존에 NAS에서 사용하던 메일 서버를 옮겨왔다(말만 옮긴거지 실제로는 처음부터 다시 구축함). 그리고 다른 VM에는 HA OS를 설치해서 기존의 라즈베리파이에 있던 Homeassistant를 옮겨왔다(http로 접속하면 리다이렉션 안 되는줄 모르고 계속 잘못 없는 VM만 지웠다 깔았다 함. 20시간은 날림.). Proxmox가 여러 VM을 관리하니까 패스스루라는 기능이 있는데, 여러 장치들을 말 그대로 한 VM에만 통과시켜줘서 그 VM만 쓸 수 있게 하는거 같다(아직 잘 모름.). 전에 쓰던 Zigbee USB 동글을 패스스루하니 잘 작동한다. 어제 라즈베리파이 없어서 누워 있다가 수동으로 불 껐는데 상당히 불편했다.

암튼, N100은 라즈베리파이랑 비교도 안 될 정도로 빠르다.

이제 얘의 활용 방안을 찾아야 한다.

※ 블로그 도메인은 티스토리에서 인증서 발급한다고 해서, 시간이 좀 걸릴 듯 하다.